МЕЖДУНАРОДНЫЙ ДЕНЬ ЧИСЛА ПИ

МАР

14

2023

Международный день числа Пи – неофициальный праздник, который отмечается любителями математики 14 марта в 1:59:26 в честь математической константы — числа Пи =3,1415926535897932384626433832795…. Чаще всего число π аппроксимируется десятичным числом 3,14 или дробью 22/7. 

В 1987 году этот праздник придумал физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, который заметил, что дата (в американской системе записи дат ММ.ДД) совпадают с первыми разрядами числа π.

Число Пи интересует людей во всем мире уже более 4000 лет. Например, жители древнего Вавилона оценивали Пи как 25/8 ≈ 3,125. Древние египтяне определяли соотношение как (16/9)2  ≈ 3,14(6). 

Греческий математик Архимед первым применил алгоритмический подход к вычислению числа π. Он нарисовал многоугольник внутри круга и нарисовал второй многоугольник за пределами круга. Затем он симметрично увеличивал количество сторон обоих многоугольников, тем самым все больше приближаясь к форме круга. Дойдя до 96-сторонних многоугольников, он доказал, что число Пи лежит в интервале 223/71 < π < 22/7. 

Что такое число π? Число Пи представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру. Для любого круга расстояние по краю чуть более чем в три раза превышает расстояние поперек.

 

Многие математики, такие как Фибоначчи, Ньютон, Лейбниц и Гаусс вычисляли цифры числа π и применяли его во многих областях математики.

В 1630 году австрийский астроном Кристоф Гринбергер вычислил 38 цифр числа π, используя многоугольники с 10 40 сторонами, что остается лучшим вычислением числа Пи с использованием этого многоугольного метода.

До 1647 года у числа Пи не было универсального имени или символа. Английский математик Уильям Отред начал называть его π в своей публикации Clavis Mathematicae, но широкое распространение π получило только после того, как Леонард Эйлер использовал этот символ в 1737 году.  Причина принятия именно этой греческой буквы заключается в том, что это первая буква греческого слова «периметрос», которое приблизительно переводится как «окружность».

В 1767 году швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт доказал, что число Пи иррационально (десятичное число без конца и без повторяющегося шаблона). 

Исследователи из Университета прикладных наук в Граубюндене (Швейцария) установили новый рекорд точности вычисления числа Пи, определив его значение вплоть до 62,8 трлн знаков после запятой. Однако для выполнения всех вычислений в нашей наблюдаемой Вселенной практически без ошибок необходимы только первые 39 цифр.

В этот день принято читать хвалебные речи в честь числа π, печь «пи-роги» («Pi pie») с изображением греческой буквы π или с первыми цифрами самого числа, устраивать чае-пи-тие, играть в игры, начинающиеся на π, решать головоломки и загадки, водить хороводы вокруг предметов, связанных с этим числом.

С праздником!

 

22 интересных факта о математике

Именно математику называют царицей всех наук! Некоторые готовы поспорить с этим утверждением, но всё-таки числами действительно можно объяснить если не всё на свете, то очень многое. И множество других наук появилось в результате появления ответвлений из математики, которые начали развиваться после того, как пошли своим путём.

Интересные факты о математике

1. 2 и 5 – единственные простые числа в математике, которые заканчиваются на 2 и 5 соответственно.
2. Среди всех фигур с одинаковым периметром, у круга будет самая большая площадь. И наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью, у круга будет самый маленький периметр.
3. Математики подсчитали, что существует целых 177147 способов завязать галстук. Остается только догадываться, проверяли они это опытным путем или с помощью вычислений.
4. В группе из 23-х человек и более, вероятность, что у двоих совпадет день рождения, превышает 50%, а в группе от 60 человек такая вероятность составляет около 99%.
5. Ноль – единственное в математике число, которое нельзя написать римскими цифрами.
6. Знак равенства (=) впервые применил британский математик Роберт Рекорд в 1557 году.
7. Число 18 – единственное кроме нуля, сумма цифр которого в два раза меньше него самого.
8. Сумма чисел от 1 до 100 составляет 5050.
9. Чарльз Лютвидж Доджсон – малоизвестный британский математик, посвятивший изрядную часть своей жизни изучению логики. Тем не менее, он прославился под другим именем – Льюис Кэрролл, автор “Алисы в стране чудес”.
10. Американец Джордж Данциг, будучи студентом, опоздал на занятия и по ошибке принял записанные на доске уравнения, как домашнее задание. С трудом, но будущий ученый с ними справился. Как выяснилось позже, это были две «нерешаемые» проблемы в статистике, над разрешением которых ученые бились много лет.
11. Современный гений и профессор математики Стивен Хокинг утверждает, что математику изучал только в школе. Во времена преподавания математики в Оксфорде, Стивен просто читал учебник с опережением собственных студентов на пару недель (см. интересные факты о Стивене Хокинге).
12. Софье Ковалевской, знаменитой учёной, ради науки пришлось оформить фиктивный брак. В России той эпохи женщинам было запрещено заниматься науками, а её отец был против выезда дочери за границу. Единственным способом оказалось замужество. Которое, впрочем, позднее стало не фиктивным, а вполне настоящим.
13. Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые они  были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались бессмысленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов.
14. Самый древний математический труд был найден в Свазиленде – кость бабуина с выбитыми чёрточками, известная, как кость из Лембобо. Эти чёрточки, вероятно, были результатом какого-то вычисления. Возраст кости оценивается 37 тысяч лет (см. интересные факты о Свазиленде).
15. Вся информация по математике содержится в огромном количестве книг. На сегодняшний день их более 100 тысяч, в основном учебники и серьёзные научные труды.
16. В переводе с арабского «цифра» слово означает «ноль», но исторически так сложилось, что этим словом мы называем вообще все цифры.
17. Сумма всех чисел на рулетке в казино равняется 666. А в Европарламенте есть кресло под номером 666, но оно всегда пустует. По старой традиции его никто не занимает.
18. На Тайване официально разрешено не использовать число 4. Всё потому, что оно созвучно с китайским словом «смерть», и оно в китайской культуре считается несчастливым, как число 13 у европейцев. Во многих тайваньских домах после третьего этажа сразу идёт пятый.
19. Ноль – единственное из существующих чисел, имеющее несколько названий.
20. Самым большим числом в мире является центиллион. Это единица с шестью сотнями нулей.
21. Мы знаем о Лермонтове, как о блестящем поэте и прозаике, но кроме литературы он увлекался ещё и математикой. И в свободное от творчества время Михаил Юрьевич любил решать задачи из высшей математики и аналитической геометрии (см. интересные факты о Лермонтове).
22. Российского математика Михаила Остроградского очередная догадка осенила во время прогулки по улице. Ученый нашел черную вертикальную поверхность и начал спешно покрывать ее записями. Каково же было его изумление, когда «доска» вдруг начала удаляться! Оказалось, это был борт отъезжающей кареты.

 

Международный день числа π

π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 (Фото: Richard Dombek, по лицензии Shutterstock.com)

14 марта в мире отмечается один из самых необычных праздников — Международный день числа «Пи» (International Pi Day).

Впервые День был отмечен в 1988 году в научно-популярном музее Эксплораториум в Сан-Франциско (San Francisco Exploratorium), а придумал этот неофициальный праздник годом ранее физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, который подметил, что в американской системе записи дат (месяц / число) день 14 марта — 3/14 — совпадает с первыми разрядами числа π = 3,14...

С этим необычным числом мы сталкиваемся уже в младших классах школы, когда начинаем изучать круг и окружность. Число π — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра. В цифровом выражении π начинается как 3,141592... и имеет бесконечную математическую продолжительность.

В повседневных вычислениях используют упрощенное написание числа, оставляя только два знака после запятой, — 3,14. Взглянув на этот знак, сразу же становится очевидным, почему именно сегодня отмечается День числа «Пи».

Как считают специалисты, это число было открыто вавилонскими магами. Оно использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни. Однако, недостаточно точное исчисление значения «Пи» привело к краху всего проекта. Возможно, что эта математическая константа лежала в основе строительства легендарного Храма царя Соломона.

Сегодня отмечается День числа «Пи» (Фото: Michael Juarez, по лицензии Shutterstock.com)

Примечательно, что Международный день числа «Пи», случайно или умышленно, совпадает с днем рождения одного из наиболее выдающихся физиков современности — днем рождения Альберта Эйнштейна (Albert Einstein, 1879—1955).

Ученые и любители математики очень любят этот праздник, отмечая его разнообразными физико-математическими и кулинарными (!) мероприятиями. Кулинария здесь приходится как раз очень кстати — обычно выпекаются большие круглые торты, и вся команда рассаживается вокруг «магического» круга (как правило, с нарисованным «Пи» в центре), угощаясь и рассуждая об относительности этого необычного числа.

 

Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

Содержание:

1. Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
2. Угол поворота
3. Числа
4. Тригонометрические функции углового и числового аргумента
5. Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
6. Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

Тригонометрия - раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой нужной науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии, которые придумали наиболее важные понятия, объяснили многие свойства, предложили варианты измерения и др.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии без таблиц и графиков.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Зачем разделять понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса?

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Что такое синус?

Синус угла ($\sin \alpha$) - это отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Что такое косинус?

Косинус угла ($\cos \alpha$) - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Что такое тангенс?

Тангенс угла ($tg\alpha$) - это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла ($ctg\alpha$) - отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Синус и косинус можно представить через экспоненту (экспоненциальная функция).

Приведем иллюстрацию. 

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Означения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять (находить) значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Что и почему важно и принято помнить в ходе такого нахождения?

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тг и ктг - вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Как найти синус? Для начала нужно определиться, какой перед нами треугольник: прямоугольный или произвольный. В первом случае можно использовать обычный тригонометрический метод, а во втором - теорему косинусов.

Как найти косинус? Соответственно, нам нужно знать значения прилежающего катета и гипотенузы. 

Как найти тангенс? Если треугольник прямоугольный, то тангенс вычисляется при помощи значений противоположного катета и прилежащего (в уравнении нужно поделить одно на другое). Если речь идет о числах, тупых, развернутых углов и углов, превышающих 360 градусов, то тангенс определяется при помощи синуса и косинуса (посредством их отношения и деления).

Теорема синусов и косинусов используется для того чтобы искать элементы в произвольном треугольнике. Такой поиск используется часто.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от $-\infty$ до $+\infty$. 

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность (круг) с центром в начале декартовой системы координат.

                                                                 

Начальная точка $A$ с координатами ($1$, $0$) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол $\alpha$ и переходит в точку $A_1$. Определение дается через координаты точки $A_1$($x$ , $y$). 

Синус (sin или син) угла поворота

Синус угла поворота $\alpha$ - это ордината точки $A_1$($x$ , $y$). $\sin \alpha =y$

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота $\alpha$ - это абсцисса точки $A_1$($x$ , $y$). $\cos \alpha =икс$

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота $\alpha$ - это отношение ординаты точки $A_1$($x$ , $y$) к ее абсциссе. $tg\alpha =\frac{y}{x}$

Котангенс (ctg) угла поворота

Котанг угла поворота $\alpha$ - это отношение абсциссы точки $A_1$($x$ , $y$) к ее ординате. $ctg\alpha =\frac{x}{y}$

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ($0$, $1$) и ($0$, $-1$). В таких случаях выражение для тангенса $tg\alpha =\frac{y}{x}$ просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогична ситуация с котангенсом. Отличие состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

Простое правило: синус и косинус определены для любых углов $\alpha$.

Тангенс определен для всех углов, кроме $\alpha =90°+180°\cdot k,k\in Z(\alpha =\frac{\pi }{2}+\pi \cdot k,k\in Z)$

Котангенс определен для всех углов, кроме $\alpha =180°\cdot k,k\in Z(\alpha =\pi \cdot k,k\in Z)$

При решении практических примеров не говорят "синус угла поворота $\alpha$". Слова "угол поворота" просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь. 

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа $10\pi$ равен синусу угла поворота величиной $10\pi$ рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности - точка $A$ c координатами ($1$, $0$).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь $opent|$.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь $opent|$.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t - ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. $\sin t=y$

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t - абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. $\cos t=x$

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t - отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. $tgt=\frac{y}{x}=\frac{\sin t}{\cos t}$

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла $\alpha$ соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам $\alpha$, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π · k ,   k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех $\alpha$, кроме α = 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π · k ,   k ∈ Z ). 

Можно сказать, что $\sin \alpha ,\cos \alpha ,tg\alpha ,ctg\alpha$ - это функции угла альфа, или функции углового аргумента. 

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k ,   k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k ,   k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс - основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело. 

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

                                                                     

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку $A(1,0)$ на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки $A_1(x,y)$ перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол $A_{1}OH$ равен углу поворота $\alpha$, длина катета $OH$ равна абсциссе точки $A_1(x,y)$. Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки $A_1(x,y)$, а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. 

В соответствии с определением из геометрии, синус угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 

$\sin \alpha =\frac{A_{1}H}{O{A}_1}=\frac{y}{1}=y$

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота $\alpha$, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

Подробнее: https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/sinus-kosinus-tangens-i-kotangens/